Algebra abstrakcyjna to jeden z trudniejszych przedmiotów na studiach
matematycznych i informatycznych. Zbiór zadań Jerzego Rutkowskiego ma pomóc studentom w
przyswojeniu wspomnianego materiału.
Książka zawiera zadania dotyczące wszystkich ważniejszych pojęć
algebry abstrakcyjnej.
Każdy dział zbioru otwierają podstawowe definicje i twierdzenia oraz zadania
do samodzielnego rozwiązywania poprzedzone starannie dobranymi przykładami rozwiązań.
Na końcu książki znajdują się rozwiązania i odpowiedzi do większości zadań
umieszczonych w zbiorze.
Pozycja przeznaczona jest przede wszystkim dla tych studentów, którym algebra
abstrakcyjna mogłaby sprawiać pewne trudności, i dlatego w większości zawiera zadania
łatwiejsze. Ze zbioru mogą też korzystać ci, których interesują zadania o wyższym
stopniu trudności.
Spis treści:
Od autora 9
Wstęp 11
1. Działania i struktury algebraiczne 13
1.1. Działania i ich własności 13
1.1.1. Działania 13
1.1.2. Własności działań 15
1.1.3. Działania zewnętrzne 22
1.2. Struktury algebraiczne i ich homomorfizmy 23
1.2.1. Struktury algebraiczne 23
1.2.2. Homomorfizmy struktur algebraicznych 24
1.3. Zgodność relacji równoważności z działaniami, struktury ilorazowe 27
1.3.1. Zgodność relacji równoważności z działaniem, działanie indukowane 27
1.3.2. Zgodność relacji równoważności ze strukturą algebraiczną, struktura
ilorazowa 30
2. Grupy 33
2.1. Grupy – pojęcia wstępne 33
2.1.1. Grupy – definicje, przykłady, podstawowe własności 33
2.1.2. Podgrupy 41
2.1.3. Warstwy 44
2.1.4. Dzielniki normalne i grupy ilorazowe 48
2.1.5. Elementy sprzężone 54
2.2. Homomorfizmy grup 54
2.2.1. Homomorfizmy grup – definicja i podstawowe własności 54
2.2.2. Izomorfizmy grup 58
2.2.3. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie grup 63
2.2.4. Inne twierdzenia o izomorfizmach grup 66
2.2.5. Grupy Aut (G) oraz Inn (G) 67
2.3. Grupy cykliczne i grupy permutacji 69
2.3.1. Grupy cykliczne 69
2.3.2. Grupy permutacji 76
2.4. Produkty i sumy proste grup, sumy proste podgrup 85
2.4.1. Produkty i sumy proste grup 85
2.4.2. Suma prosta dwóch podgrup 89
2.4.3. Suma prosta dowolnej liczby podgrup 91
2.4.4. Struktura skończonych grup abelowych 93
2.4.5. Grupy wolne 97
2.4.6. Słowa, grupy słów 98
2.4.7. Relacje między generatorami, grupy o skończonym opisie 100
2.4.8. Wolne grupy abelowe 105
2.5. Działania grup w zbiorach, p-grupy i grupy rozwiązalne 118
2.5.1. Działania grup w zbiorach 118
2.5.2. p-grupy skończone i twierdzenie Sylowa 122
2.5.3. Grupy rozwiązalne 123
2.6. Zadania różne 125
3. Pierścienie 126
3.1. Pierścienie – pojęcia wstępne 126
3.1.1. Pierścienie – definicja, przykłady i podstawowe własności 126
3.1.2. Elementy odwracalne i dzielniki zera w pierścieniach 129
3.1.3. Dziedziny całkowitości 131
3.1.4. Ciała 132
3.1.5. Podpierścienie 135
3.1.6. Homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni 138
3.2. Pierścienie wielomianów 142
3.2.1. Pierścienie wielomianów – definicje, przykłady, podstawowe własności 142
3.2.2. Dzielenie wielomianów z resztą 145
3.2.3. Wartość wielomianu, funkcje wielomianowe 148
3.2.4. Wielomiany interpolacyjne Lagrange’a i Newtona 149
3.2.5. Pierwiastki wielomianów 151
3.2.6. Pochodna wielomianu 152
3.2.7. Rugowniki i wyróżniki 155
3.2.8. Wielomiany wielu zmiennych 158
3.2.9. Wielomiany symetryczne 160
3.2.10. Układy równań algebraicznych 166
3.2.11. Redukcja wielomianu według modułu 169
3.2.12. Pierścienie formalnych szeregów potęgowych 170
3.3. Ideały i pierścienie ilorazowe 172
3.3.1. Ideały 172
3.3.2. Pierścienie noetherowskie 177
3.3.3. Chińskie twierdzenie o resztach 179
3.3.4. Ideały pierwsze i ideały maksymalne 182
3.3.5. Pierścienie lokalne 183
3.3.6. Pierścienie ilorazowe 184
3.3.7. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie pierścieni 190
3.4. Ciała ułamków i pierścienie ułamków 194
3.4.1. Ciała ułamków 194
3.4.2. Pierścienie ułamków 198
3.5. Teoria podzielności w dziedzinach całkowitości 200
3.5.1. Relacje podzielności i stowarzyszenia 200
3.5.2. Elementy rozkładalne i nierozkładalne 204
3.5.3. Jednoznaczność rozkładu na czynniki nierozkładalne 206
3.5.4. Elementy pierwsze 209
3.5.5. Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność 210
3.5.6. Pierścienie euklidesowe 214
3.5.7. Zastosowanie jednoznaczności rozkładu do rozwiązywania pewnych równań w
liczbach całkowitych 221
3.5.8. Teoria podzielności w pierścieniach wielomianów 222
3.5.9. Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste 225
3.5.10. Pewne zastosowanie szeregów potęgowych 229
4. Ciała 233
4.1. Rozszerzenia ciał, elementy algebraiczne 233
4.2. Ciała skończone 241
4.2.1. Elementy ciała skończonego i działania na nich 241
4.2.2. Ślad i norma elementu ciała skończonego 244
5. Rozwiązania i odpowiedzi 245
Do rozdziału 1 245
Do rozdziału 2 254
Do rozdziału 3 328
Do rozdziału 4 385
Spis literatury 390
Skorowidz 391
393 strony, miękka oprawa
